Penerbitan persamaan gelombang

Daripada hukum Hooke

Persamaan gelombang dalam keadaan satu dimensi boleh diterbitkan daripada hukum Hooke dalam cara berikut: Bayangkan satu barisan pemberat-pemberat kecil berjisim m yang dihubungkan oleh spring-spring tidak berjisim dengan panjang h. Spring-spring ini mempunyai pemalar spring k:

Di sini, u(x) mengukur jarak dari keseimbangan jisim yang terletak di x. Daya yang dikenakan ke atas jisim m pada jarah x+h ialah:

F N e w t o n = m ⋅ a ( t ) = m ⋅ ∂ 2 ∂ t 2 u ( x + h , t ) {\displaystyle F_{\mathit {Newton}}=m\cdot a(t)=m\cdot {{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)}} F H o o k e = F x + 2 h − F x = k [ u ( x + 2 h , t ) − u ( x + h , t ) ] − k [ u ( x + h , t ) − u ( x , t ) ] {\displaystyle F_{\mathit {Hooke}}=F_{x+2h}-F_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]-k[u(x+h,t)-u(x,t)]}

Persamaan pergerakan bagi pemberat pada kedudukan x+h diberikan dengan menyamakan kedua-dua daya ini:

m ∂ 2 ∂ t 2 u ( x + h , t ) = k [ u ( x + 2 h , t ) − u ( x + h , t ) − u ( x + h , t ) + u ( x , t ) ] {\displaystyle m{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]}

di mana kebergantungan pada masa u(x) telah dijelaskan.

Sekiranya barisan pemberat ini terdiri daripada N pemberat yang dijarakkan secara sama rata sepanjang jarakL = Nh jisim keseluruhan M = Nm, dan jumlah pemalar spring barisan ini K = k/N, kita boleh menulis persamaan di atas seperti ini:

∂ 2 ∂ t 2 u ( x + h , t ) = K L 2 M u ( x + 2 h , t ) − 2 u ( x + h , t ) + u ( x , t ) h 2 {\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}}

Dengan mengambil had N → ∞, h → 0 dan mengandaikan kelicinan, persamaan berikut boleh diperoleh:

∂ 2 u ( x , t ) ∂ t 2 = K L 2 M ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 {\displaystyle {\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}}

(KL2)/M ialah kuasa dua kelajuan perambatan dalam kes ini.

Penyelesaian umum

Persamaan gelombang 1-D kesan daripada gelombang kembara.

Persamaan gelombang satu dimensi adalah luar biasa bagi persamaan pembezaan separa kerana penyelesaian umum yang agak ringkas boleh diperoleh. Pentakrifan pembolehubah-pembolehubah baru:[5]

ξ = x − c t ; η = x + c t {\displaystyle \xi =x-ct\quad ;\quad \eta =x+ct}

mengubah persaman gelombang itu kepada

∂ 2 u ∂ ξ ∂ η = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=0}

yang membawa kepada penyelesaian umum

u ( ξ , η ) = F ( ξ ) + G ( η ) {\displaystyle u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )}

atau yang sepadan dengannya:

u ( x , t ) = F ( x − c t ) + G ( x + c t ) {\displaystyle u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)}

Dengan erti kata lain, penyelesaian persamaan gelombang 1D adalah hasil tambah fungsi kembara kanan F dan fungsi kembara kiri G. "Kembara" membawa maksud bentuk fungsi-fungsi rambang tersendiri ini mengikut x adalah malar, namun fungsi-fungsi ini bergerak ke kiri dan kanan mengikut masa pada kelajuan c. Ini ditakrifkan oleh Jean le Rond d'Alembert.[6]

Satu lagi cara unutk memperoleh hasil ini adalah dengan memerhatikan bahawa persamaan gelombang ini boleh "difaktorkan":

[ ∂ ∂ t − c ∂ ∂ x ] [ ∂ ∂ t + c ∂ ∂ x ] u = 0 {\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0}

dan oleh itu:

∂ u ∂ t − c ∂ u ∂ x = 0 dan ∂ u ∂ t + c ∂ u ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\qquad {\mbox{dan}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}

Dua persamaan akhir ini adalah persamaan alir lintang, satu kembara kiri dan satu lagi kembara kanan, kedua-duanya dengan kelajuan malar c.

Bagi satu masalah nilai asal, fungsi-fungsi rambang F dan G boleh ditentukan untuk memuaskan syarat-syarat asal:

u ( x , 0 ) = f ( x ) {\displaystyle u(x,0)=f(x)\,} u t ( x , 0 ) = g ( x ) {\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x)\,}

Hasilnya ialah formula d'Alembert:

u ( x , t ) = f ( x − c t ) + f ( x + c t ) 2 + 1 2 c ∫ x − c t x + c t g ( s ) d s {\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds}

Dalam pengertian klasiknya, jika f(x) ∈ Ck dan g(x) ∈ Ck−1, maka u(t, x) ∈ Ck. Namun, bentuk-bentuk gelombang F dan G boleh juga jadi fungsi itlak seperti fungsi delta. Dalam keadaan ini, penyelesaiannya boleh ditakrifkan sebagai satu impuls yang bergerak ke kanan atau kiri.

Persamaan gelombang asas ialah satu persamaan pembezaan linear dan oleh itu ia akan mematuhi prinsip superposisi. Ini bermaksud sesaran bersih yang disebabkan oleh dua atau lebih gelombang ialah hasil tambah sesaran-sesaran yang setiap gelombang sebabkan. Tambahan lagi, sifat satu gelombang boleh dianalisa dengan memecahkan gelombang itu kepada komponen-komponen, misalnya jelmaan Fourier memecahkan satu gelombang kepada komponen-komponen sinusoidnya.